докажите что можно так соединить одну из вершин параллелепипеда с тремя ближайшими вершинами , что получиться правильный тетраэдр (пусть острый угол ромба будет равен 60 градусам) выразите высоту параллелепипеда через его сторону

Чтобы доказать, что можно соединить одну из вершин параллелепипеда с тремя ближайшими вершинами и получить правильный тетраэдр, нужно найти такие вершины параллелепипеда, которые образуют равносторонний треугольник с данной вершиной.

Пусть сторона параллелепипеда равна $a$. Рассмотрим грань параллелепипеда, смежную с данной вершиной и диагональ которой содержит данную вершину. В этой грани выберем вершину, смежную с данной вершиной, и обозначим её $B$.

Таким образом, у нас есть треугольник $ABC$, в котором угол $BAC$ равен $60^circ$. Мы хотим доказать, что этот треугольник является равносторонним.

Посчитаем длины сторон треугольника $ABC$. Расстояние между двумя смежными вершинами параллелепипеда, равными $A$ и $B$, равно $a$. Так как угол $BAC$ равен $60^circ$, то угол $BAC$ в треугольнике $ABC$ является острым.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $angle BAC = 60^circ$. Так как равнобедренный треугольник имеет два равных угла и две равные стороны, то угол $BCA$ тоже равен $60^circ$. Таким образом, у нас есть равносторонний треугольник $ABC$.

Высота равностороннего треугольника делит его на два прямоугольных треугольника с углами $30^circ, 60^circ, 90^circ$. В таком треугольнике соотношение между длиной высоты ($h$) и длиной стороны треугольника ($a$) составляет:
$h = a cdot frac{sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, высота параллелепипеда ($h$) равна $a cdot frac{sqrt{3}}{2}$.