Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, в котором угол B равен 30°. Давайте обозначим стороны этого треугольника следующим образом: AB = c (гипотенуза), BC = a (катет, противолежащий углу 30°) и AC = b (второй катет).
Нам нужно доказать, что a = c/2.
Для начала, посмотрим на противоположный катет AC. В прямоугольном треугольнике угол ACB равен 90°-30°=60°.
Теперь вспомним о треугольнике ACB. У него один угол равен 60°. Отсюда следует, что другой угол – угол ACB – равен 180°-90°-60°=30°.
Значит, треугольники ABC и ACB подобны.
Теперь воспользуемся свойством подобных треугольников. Оно гласит, что отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников равно. В нашем случае это:
c/a = a/b.
Из этого уравнения можно выразить a:
a = c * b / a.
Мы уже знаем, что угол ACB равен 30°, поэтому можно применить тригонометрический закон синусов:
sin(30°) = a / c.
sin(30°) равен 1/2, поэтому:
1/2 = a / c.
Умножим обе части уравнения на c:
c * 1/2 = a.
И, наконец, упростим:
a = c/2.
Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.