Теорема о трех перпендикулярах утверждает, что если в треугольнике каждая из трех высот перпендикулярна соответствующей стороне, то треугольник является ортоцентрическим, то есть его высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.
Обратная теорема утверждает, что если в треугольнике высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре), то каждая из трех высот перпендикулярна соответствующей стороне.
Доказательство обратной теоремы:
Предположим, что в треугольнике ABC высоты AD, BE и CF пересекаются в точке H.
1. Возьмем основание одной из высот, например сторону BC. Проведем прямую, перпендикулярную к BC, через точку H. Назовем точку пересечения этой прямой с стороной BC точкой M.
2. Докажем, что HMBC является параллелограммом. Для этого применим две основные свойства параллелограмма. Во-первых, противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому HM = BC. Во-вторых, диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому HC = MB.
3. Так как HC = MB и HC || MB, то треугольники HCB и MBH подобны (по признаку равных углов). Это означает, что угол HBC равен углу MBH, а угол HCB равен углу BMH.
4. У треугольника ABC и треугольника MBH также есть одна общая вершина B. Мы показали, что углы HBC и MBH равны. Значит, остальные два угла треугольников ABC и MBH также равны, поэтому треугольники ABC и MBH подобны.
5. Поскольку треугольники ABC и MBH подобны, то их высоты соответственно AD и MH тоже подобны. Значит, углы A и MHB равны, поскольку они являются соответствующими углами подобных треугольников. Но угол A является прямым углом, так как высоты перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника.
6. Из пункта 5 следует, что угол MHB также является прямым углом. Но это означает, что сторона MH перпендикулярна стороне BC.
7. Нам осталось доказать, что также стороны MB и HC перпендикулярны сторонам AC и AB соответственно. Аналогичным образом можно доказать, что треугольники AHC и MCH подобны, и треугольники AMB и BMA подобны.
8. Из пунктов 7 и 6 следует, что стороны MB и HC перпендикулярны сторонам AC и AB соответственно.
Таким образом, мы доказали, что если в треугольнике высоты пересекаются в одной точке, то каждая из трех высот перпендикулярна соответствующей стороне.