Две перпендикулярные прямые пересекаются в точке  Q Q и образуют треугольники  M Q R MQR и  T Q E TQE. Известно, что  R Q = Q T RQ=QT,  M Q = Q E MQ=QE,  ∠ M R E = 53 ° ∠MRE=53°,  ∠ T E R = 37 ° ∠TER=37°. Найди значения углов  Q T E QTE и  R M T RMT.

Для решения задачи обратимся к свойству перпендикулярных прямых: они делят плоскость на четыре равные части. Также воспользуемся свойством углов треугольника: сумма всех углов треугольника равна 180°.

1. Известно, что прямые MQ и QT перпендикулярны. Поэтому MQ является биссектрисой угла QMR (так как MR и QT – прямые). Из этого следует, что угол QMR равен углу QMT, то есть одно и то же значение.

2. Так как три угла треугольника MQR равны 90° каждый, то сумма всех углов треугольника MQR равна 270°. Из этого следует, что угол QMR равен 270° – 53° = 217°.

3. Поскольку угол QMR и угол QMT равны, то угол QMT также равен 217°.

4. Теперь найдем угол QTE. Известно, что треугольники TQE и MQR обладают двумя равными сторонами: QT = RM и QE = MQ. Кроме того, угол MQR и угол TER (прямой угол) равны, поскольку они будут смежными, так как QT и R E положенны на одной прямой, которую можно рассматривать как прямую, проходящую через вершину Q. Поэтому треугольники TQE и MQR равны по стороне-уголу-стороне (SAS).

5. Если треугольники TQE и MQR равны, то углы QTE и RMT равны. Таким образом, угол QTE равен 37°.

Таким образом, значения углов QTE и RMT равны 37° и 217° соответственно.