Задача состоит в нахождении точек экстремума функции f(x) = ln(x) – x на отрезке [1/2;3].
1. Начнем с нахождения производной функции f(x). Производная функции ln(x) равна 1/x, а производная функции -x равна -1. Следовательно, производная функции f(x) равна:
f'(x) = 1/x – 1.
2. Чтобы найти точки, где производная равна нулю и есть возможность наличия экстремума, решим уравнение f'(x) = 0:
1/x – 1 = 0.
3. Решение этого уравнения имеет вид x = 1. Однако, так как интересующий нас отрезок [1/2;3] не содержит эту точку, мы не можем использовать ее для нахождения экстремумов.
4. Следующим шагом будет нахождение границ отрезка [1/2;3]. Функция f(x) может иметь экстремумы только в этих точках. Найдем значение функции в этих точках:
f(1/2) = ln(1/2) – 1/2 ≈ -0,1931,
f(3) = ln(3) – 3 ≈ -0,6077.
5. Теперь, сравнивая значения функции в граничных точках и на концах отрезка, мы можем определить наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Минимальное значение функции достигается в точке x = 3, а максимальное значение достигается в точке x = 1/2.
Итак, на отрезке [1/2;3] функция f(x) = ln(x) – x имеет минимум в точке x = 3 и его значение составляет приблизительно -0,6077, и максимум в точке x = 1/2 со значением приблизительно равным -0,1931.