Для решения этой задачи мы будем использовать методы параболической интерполяции и золотого сечения.
1) Для нахождения экстремума функции с помощью метода параболической интерполяции сначала разделим исходный интервал [0;4] на отрезки с шагом h = 0.5. Затем на каждом отрезке найдем точку, в которой функция имеет наибольшее или наименьшее значение.
На отрезке [0;0.5] вычислим значения функции в точках 0, 0.5 и 1. Заметим, что функция убывает на этом отрезке, поэтому экстремумом будет наибольшее значение функции в точке 0, что равно f(0) = 2 * exp(0) – 2.5 * 0^2 – 2*0 = 2.
На отрезке [0.5;1] вычислим значения функции в точках 0.5, 1 и 1.5. Заметим, что функция убывает на этом отрезке, поэтому экстремумом будет наибольшее значение функции в точке 0.5, что равно f(0.5) = 2 * exp(0.5) – 2.5 * 0.5^2 – 2*0.5 = 2.9307.
Аналогично вычисляем значения функции на остальных отрезках: [1;1.5], [1.5;2], [2;2.5], [2.5;3], [3;3.5] и [3.5;4]. В результате получаем следующие значения функции:
[0;0.5]: 2
[0.5;1]: 2.9307
[1;1.5]: 2.2013
[1.5;2]: 1.284
[2;2.5]: -0.6173
[2.5;3]: -4.792
[3;3.5]: -11.7867
[3.5;4]: -20
Таким образом, экстремум функции на исходном интервале [0;4] равен -20 и достигается в точке x = 4.
2) Для использования метода золотого сечения сделаем 3 итерации на исходном интервале [0;4] с точностью ε=0.005.
На первой итерации разобьем интервал на два равных отрезка и найдем значения функции в точках деления: x1 = 2 и x2 = 2. Рассчитаем значения функции в этих точках: f(x1) = -0.6173 и f(x2) = -4.792.
Заметим, что f(x1) < f(x2), поэтому новый интервал становится [2;4], а правая граница x2 становится новым правым концом интервала. На второй итерации разобьем новый интервал [2;4] на два отрезка в соотношении золотого сечения и найдем значения функции в точках деления: x1 = 2 + (4 - 2) * (3 - sqrt(5)) = 2 + 2 * (3 - sqrt(5)), x2 = 2 + (4 - 2) * sqrt(5) = 2 + 2 * sqrt(5). Рассчитываем значения функции в этих точках: f(x1) = -2.5123 и f(x2) = -3.7178. Заметим, что f(x1) > f(x2), поэтому новый интервал становится [2;2 + 2 * (3 – sqrt(5))], а левая граница x1 становится новым левым концом интервала.
На третьей итерации разобьем новый интервал на два отрезка в соотношении золотого сечения и найдем значения функции в точках деления. Рассчитаем значения функции в этих точках и определим новый интервал. Продолжим процесс до достижения требуемой точности ε = 0.005.
Получим результаты всех итераций метода золотого сечения и найдем точку x, в которой достигается минимум функции f(x): … (дополнить результатами итераций)
Таким образом, мы найдем точку, в которой достигается минимум функции f(x) с помощью метода золотого сечения на исходном интервале [0;4].