Задача: Среди всех прямоугольников, у которых периметр равен 20, найти прямоугольник с наименьшей площадью.
Решение:
1. Найдем формулу для площади S прямоугольника с заданным периметром P.
Периметр прямоугольника выражается через его стороны a и b по формуле P = 2a + 2b.
Разделим обе части уравнения на 2: P/2 = a + b.
Используем формулу для площади прямоугольника S = a * b.
Подставим значение a из уравнения P/2 = a + b в формулу для S: S = (P/2 – b) * b.
Полученная формула позволяет найти площадь прямоугольника при заданном периметре.
2. Для нахождения прямоугольника с наименьшей площадью из всех возможных прямоугольников с периметром 20, найдем длины сторон a и b, которые минимизируют значение площади S.
3. Подставим значение периметра P = 20 в формулу площади S = (P/2 – b) * b.
Получим квадратное уравнение: S = (10 – b) * b.
4. Для нахождения минимальной площади S найдем точку экстремума этого уравнения.
Рассмотрим производную от этого уравнения по переменной b: dS/db = 10 – 2b.
5. Производная равна нулю, когда 10 – 2b = 0.
Решим это уравнение и найдем значение b: b = 5.
6. Подставим найденное значение b обратно в формулу площади: S = (10 – 5) * 5 = 25.
7. Найдем значение стороны a: a = P/2 – b = 10 – 5 = 5.
8. Итак, прямоугольник с наименьшей площадью при периметре 20 имеет стороны a = 5 и b = 5, и его площадь S = 25.
Ответ: Прямоугольник с наименьшей площадью при периметре 20 имеет стороны 5 и 5, и его площадь равна 25.