Дано выражение ((a⃗ +2b⃗ )×(−a⃗ +3b⃗ ))2, где a⃗ и b⃗ – векторы.
Шаг 1: Найдем первое слагаемое ((a⃗ +2b⃗ )×(−a⃗ +3b⃗ )).
– Раскроем скобки внутри круглых скобок:
= (a⃗ × −a⃗ ) + (a⃗ × 3b⃗ ) + (2b⃗ × −a⃗ ) + (2b⃗ × 3b⃗ )
– Учтем свойства векторного произведения:
= 0 + (a⃗ × 3b⃗ ) + (−2b⃗ × a⃗ ) + 0
= (a⃗ × 3b⃗ ) + (−2b⃗ × a⃗ )
– Применим правило векторного произведения для каждого слагаемого:
= 3(a⃗ × b⃗ ) + (−2)(b⃗ × a⃗ )
= 3(a⃗ × b⃗ ) − 2(b⃗ × a⃗ )
Шаг 2: Возведем полученное выражение ((a⃗ × b⃗ ) − 2(b⃗ × a⃗ )) в квадрат.
– Раскроем скобки:
= ((a⃗ × b⃗ ) − 2(b⃗ × a⃗ ))((a⃗ × b⃗ ) − 2(b⃗ × a⃗ ))
– Распишем умножение векторов:
= (a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ ) − 2(a⃗ × b⃗ )⋅(b⃗ × a⃗ ) − 2(b⃗ × a⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ ) + 4(b⃗ × a⃗ )⋅(b⃗ × a⃗ )
– Воспользуемся свойством симметричности векторного произведения: a⃗ × b⃗ = −b⃗ × a⃗ :
= (a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ ) + 2(a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ ) + 4(b⃗ × a⃗ )⋅(b⃗ × a⃗ )
Шаг 3: Упростим полученное выражение:
– Раскроем скобки и используем свойство распределительности скалярного произведения по сложению:
= (1 + 2 + 4)(a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ )
= 7(a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ )
Таким образом, выражение ((a⃗ +2b⃗ )×(−a⃗ +3b⃗ ))2 равно 7(a⃗ × b⃗ )⋅(a⃗ × b⃗ ).