а) Для вычисления скалярного произведения двух векторов необходимо умножить соответствующие координаты и сложить полученные произведения. Сначала умножим каждую координату вектора a̅ на 2, а затем умножим каждую координату вектора c̅ на -5. Затем сложим полученные произведения:
(2a̅, -5c̅) = (2*(-5), 2*2, 2*(-2)) + (-5*(2), -5*3, -5*(-2)) = (-10, 4, -4) + (-10, -15, 10) = (-20, -11, 6).
б) Модуль векторного произведения двух векторов можно найти по формуле |a̅ x b̅| = √(a̅ x b̅)^2, где а̅ x b̅ – векторное произведение двух векторов. Сначала найдем векторное произведение двух векторов:
(-3b̅, 11c̅) = (-3*(7, 0, -5), 11*(2, 3, -2)) = (-21, 0, 15, 22, 33, -22).
Затем найдем его квадрат: (-21)^2 + 0^2 + 15^2 + 22^2 + 33^2 + (-22)^2 = 9292.
И, наконец, возьмем квадратный корень от полученного значения: |(-3b̅, 11c̅)| = √9292 ≈ 96.36.
в) Смешанное произведение трех векторов можно найти по формуле [a̅, b̅, c̅] = a̅ * (b̅ x c̅), где b̅ x c̅ – векторное произведение векторов b̅ и c̅. Сначала найдем векторное произведение векторов b̅ и c̅:
b̅ x c̅ = (7, 0, -5) x (2, 3, -2) = (15i + 14j – 21k).
Затем умножим вектор a̅ на полученное векторное произведение:
[8a̅, 4b̅, -6c̅] = 8*(-5i + 2j – 2k)*(15i + 14j – 21k) + 4*(7i – 5k)*(15i + 14j – 21k) + (-6)*(2i + 3j – 2k)*(15i + 14j – 21k).
г) Чтобы проверить, являются ли два вектора коллинеарными, необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно произведению модулей векторов, умноженных на косинус угла между ними. В данном случае проверим выполнение равенства:
(a̅, c̅) = |a̅| * |c̅| * cos(α), где α – угол между векторами a̅ и c̅.
Вычислим значения:
(a̅, c̅) = (-5, 2, -2) * (2, 3, -2) = (-5)*(2) + (2)*(3) + (-2)*(-2) = -10 + 6 + 4 = 0,
|a̅| = √((-5)^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(25 + 4 + 4) = √33,
|c̅| = √(2^2 + 3^2 + (-2)^2) = √(4 + 9 + 4) = √17.
Таким образом, (a̅, c̅) = |a̅| * |c̅| * cos(α) = √33 * √17 * cos(α) = 0,что означает, что векторы a̅ и c̅ являются ортогональными.
д) Три вектора являются компланарными, если их смешанное произведение равно нулю. Проверим данное условие:
(8a̅, -3b̅, 11c̅) = 8*(-5i + 2j – 2k)*(15i + 14j – 21k) + (-3)*(7i – 5k)*(15i + 14j – 21k) + 11*(2i + 3j – 2k)*(15i + 14j – 21k).
Вычислим полученное смешанное произведение и убедимся в его равенстве нулю.