Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 6, а отрезок КР на 6 больше отрезка АК.

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства касательных и секущих окружности.

Шаги решения:
1. Обозначим точку пересечения секущей АК с окружностью как Т.
2. Поскольку АВ является касательной, то угол AВТ прямой угол.
3. Из свойств касательной и хорды угол ТКР равен половине угла T.
4. Обозначим длину отрезка АК как х. Тогда отрезок КР будет равен х + 6.
5. Поскольку угол ТКР равен половине угла T, то угол Т равен вдвое угла ТКР.
6. Так как угол Т + угол ТКР = 180 градусов (углы, образованные касательной и секущей окружности, смотрящих на одну сторону), то получаем уравнение 2Т + (х + 6) = 180.
7. Решаем уравнение: 2Т + х + 6 = 180, или 2Т + х = 174.
8. Также угол АТР равен углу КАВ (углы, образованные хордой АР и касательной АВ, смотрящих на одну сторону).
9. Поскольку угол АТР равен углу КАВ, то получаем уравнение 2Т = 90, или Т = 45 градусов.
10. Подставляем значение Т в уравнение из пункта 7 и находим значение х: 2 * 45 + х = 174, или х = 84.
11. Таким образом, длина отрезка АК равна 84, а длина отрезка АР равна 84 + 6 = 90.

Итак, длина отрезка АК составляет 84, а отрезка АР – 90.