Из точки М, лежащей вне окружности, проведены две секущие, одна из ко- торых проходит через центр окружности О, а другая пересекает окружность в точках А и В. Найдите радиус окружности, если OM = 58 MA = 36 AB = 13 Возможен ли второй случай?

Пусть радиус окружности равен r.
Так как OM проведена через центр окружности, то она является диаметром, то есть OM = 2r.
Тогда, по теореме Пифагора, в треугольнике OMA получаем:
AM^2 = OA^2 – OM^2
36^2 = r^2 – (2r)^2
1296 = r^2 – 4r^2
3r^2 = 1296
r^2 = 432
r ≈ √432
r ≈ 20.7846 (округляем до трех знаков после запятой)

Теперь проверим, возможен ли второй случай. Для этого рассмотрим треугольник OAB.
Он образован радиусом OA и секущей AB.
По теореме косинусов:
AB^2 = OA^2 + OB^2 – 2*OA*OB*cos(BOA)
Поскольку AB = 13 и OA = r, то:
13^2 = r^2 + r^2 – 2*r*r*cos(BOA)
169 = 2r^2 – 2r^2*cos(BOA)
169 = 2r^2(1 – cos(BOA))
cos(BOA) = 1 – 169/(2r^2)
cos(BOA) = 1 – 169/(2*432)
cos(BOA) ≈ 1 – 0.1956
cos(BOA) ≈ 0.8044

Однако, для треугольника, чтобы сумма углов была меньше 180 градусов, косинус BOA должен быть положительным.
В данном случае косинус BOA равен 0.8044, что меньше 1.
Таким образом, второй случай невозможен.

Итак, радиус окружности равен примерно 20.7846 единицам. Второй случай невозможен.