Изобразить плоскость, у которой линия наибольшего ската проходит через точку Р (225, 175, 50) под дирекционным углом 325° и углом падения 35° Требуется через точку А (100, 350) под дирекционным углом 295° провести прямую так, чтобы прямая была параллельна данной плоскости и отстояла от нее на кратчайшем горизонтальном расстоянии L = 300 м. Определить: расстояние между прямой и плоскостью по вертикали (h), кратчайшее по нормали (d) и угол падения прямой (б).

Для начала построим плоскость, проходящую через точку P (225, 175, 50) под дирекционным углом 325° и углом падения 35°.

1. Найдем нормаль к плоскости, используя заданные углы.
Нормаль будет перпендикулярна линии наибольшего ската,
поэтому у нас есть наклон по горизонтали (325°) и наклон по вертикали (35°).
Находим координаты вектора нормали:
nx = sin(35°) * cos(325°) = 0.206
ny = sin(35°) * sin(325°) = -0.067
nz = cos(35°) = 0.939

2. Используем найденную нормаль, чтобы определить уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0.
Подставляем известную точку P и нормальные коэффициенты в уравнение:
0.206 * (x – 225) – 0.067 * (y – 175) + 0.939 * (z – 50) = 0.

Теперь нужно провести прямую, параллельную этой плоскости и отстоящую от нее на кратчайшее горизонтальное расстояние L = 300 м.

3. Найдем направляющий вектор прямой.
Угол падения прямой -295° соответствует направлению 295 + 180 = 475°.
Найдем координаты направляющего вектора:
dx = cos(475°) = 0.094
dy = sin(475°) = -0.996

4. Используем найденный направляющий вектор, чтобы написать параметрические уравнения прямой.
Пусть точка на прямой имеет координаты (x, y, z).
Тогда координаты точки A будут (100, 350, 0).
Уравнения:
x = 100 + 0.094t (t – параметр)
y = 350 – 0.996t
z = 0

5. Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Подставляем параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:
0.206 * (100 + 0.094t – 225) – 0.067 * (350 – 0.996t – 175) + 0.939 * (0 – 50) = 0.
Решаем уравнение для t и находим его значение: t = 68.74.

6. Подставляем найденное значение t в параметрические уравнения прямой, чтобы получить точку пересечения.
x = 100 + 0.094 * 68.74 = 106.47
y = 350 – 0.996 * 68.74 = 282.831
z = 0

Определим расстояние между прямой и плоскостью по вертикали (h), кратчайшее по нормали (d) и угол падения прямой (б).

7. Расстояние между прямой и плоскостью по вертикали (h) можно найти как разность значений z для точки на прямой и точки пересечения:
h = 0 – 0 = 0.

8. Кратчайшее расстояние между прямой и плоскостью (d) является расстоянием между точками:
d = sqrt((x – 106.47)^2 + (y – 282.831)^2 + (z – 0)^2).

9. Угол падения прямой (б) можно найти, используя скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой:
cos(б) = (nx * dx + ny * dy + nz * dz) / (sqrt(nx^2 + ny^2 + nz^2) * sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2)).
Так как dz = 0, упрощаем выражение:
cos(б) = (nx * dx + ny * dy) / (sqrt(nx^2 + ny^2 + nz^2) * sqrt(dx^2 + dy^2)).

– Расстояние между прямой и плоскостью по вертикали (h) равно 0.
– Кратчайшее расстояние между прямой и плоскостью (d) можно найти, используя полученные значения x, y, и z.
– Угол падения прямой (б) можно вычислить с помощью описанных формул, используя значения nx, ny, nz, dx и dy.