К плоскости а через концы А и В и точку С отрезка АВ, не пересекающего плоскость, проведены прямые, перпендикулярные а и пересекающие ее в точках А,, В„, С, соответственно. Чему равна длина отрезка СС, если АА, = 14 см, ВВ, = 10 сми АС: СВ =3:5 Докажи, что через точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Для решения задачи, нам необходимо выразить длину отрезка СС через уже известные значения. По условию, АА,, = 14 см и ВВ,, = 10 см, а также известно, что отношение АС к СВ равно 3:5.

Зная, что отношение длин АС и СВ равно 3:5, мы можем записать, что
АС /СВ = 3/5.

Также, мы знаем, что отрезок СС параллелен плоскости а, значит, ак = СС, и прямая СС перпендикулярна а.

Пусть точка А имеет координаты (x1, y1, z1), точка В имеет координаты (x2, y2, z2), а точка С имеет координаты (x3, y3, z3).

Теперь, чтобы найти длину отрезка СС, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

СС = sqrt((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2 + (z3 – z1)^2)

Отметим, что СВ = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2), и АС = sqrt((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2 + (z3 – z1)^2).

Теперь мы можем записать уравнение для отношения АС и СВ и выразить СС через уже известные значения:

АС / СВ = 3/5

sqrt((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2 + (z3 – z1)^2) / sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2) = 3/5

Теперь, возведем оба уравнения в квадрат и упростим:

((x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2 + (z3 – z1)^2) / ((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2) = 9/25

После упрощения и умножения обеих частей уравнения на ((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2), получим:

(x3 – x1)^2 + (y3 – y1)^2 + (z3 – z1)^2 = 9/25 * ((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

Таким образом, мы получили уравнение для длины отрезка СС через известные значения.

Чтобы доказать, что через точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, можно воспользоваться геометрическими свойствами плоскости и перпендикулярности.

Плоскость может быть задана точкой и нормальным вектором, который перпендикулярен этой плоскости. Учитывая, что прямая перпендикулярна плоскости а, мы можем использовать векторное произведение, чтобы найти нормальный вектор плоскости, проходящей через данную точку.

Таким образом, для доказательства единственности плоскости, нам необходимо найти векторное произведение вектора, направленного от точки А к точке В, и вектора, направленного от точки А к точке С. Если они не коллинеарны, то плоскость будет единственной, т.к. только одна плоскость может быть задана точкой и нормальным вектором.

Это можно сделать, подставляя координаты точек А, В и С в векторное произведение и проверяя, является ли оно ненулевым. Если оно ненулевое, то есть единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через эту точку пространства. Если оно равно нулю, то будет существовать бесконечное количество плоскостей, перпендикулярных данной прямой и проходящих через эту точку пространства.