Поскольку треугольник АВС – прямоугольный, то перпендикуляры СМ и ВК, проведенные к его сторонам, разделяют его на 3 прямоугольных треугольника: AMS, AMВ и ВСK.
Треугольник AMS – прямоугольный, поскольку AM – высота, нарисованная к гипотенузе. Также известно, что AM = а.
Треугольник АМВ – прямоугольный, поскольку ВК – перпендикуляр, проведенный к его гипотенузе. Также известно, что ВК = СМ.
Треугольник ВСК также является прямоугольным, поскольку ВК – высота, нарисованная к гипотенузе. Также известно, что ВС = b.
Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника: AMS и ВСК.
Из треугольника АМВ мы можем найти ВМ, используя теорему Пифагора:
ВМ^2 = АМ^2 + ВК^2
ВМ^2 = а^2 + СМ^2
Из полученного равенства выражаем СМ:
СМ = √(ВМ^2 – а^2)
Из треугольника ВСК мы можем найти ВК, используя теорему Пифагора:
ВК^2 = ВС^2 – CK^2
ВК^2 = b^2 – (VM – CK)^2
ВК^2 = b^2 – (VM^2 – 2VM*CK + CK^2)
А поскольку ВМ = СМ, получаем:
ВК^2 = b^2 – (VM^2 – 2VM*CK + СМ^2)
Заменяем ВМ и СМ на полученные ранее значения:
ВК^2 = b^2 – (a^2 – 2a*CK + (ВК)^2 – (CK)^2)
Упрощаем:
2a*CK = a^2 + b^2
Из этого выражения находим значение CK:
CK = (a^2 + b^2) / (2a)
И, наконец, находим АК, сложив ответы:
AK = CK + CK = 2CK
Ответ: АК = 2(a^2 + b^2)/(2a) = (a^2 + b^2)/a.
Таким образом, АК равно (a^2 + b^2) делить на a.