Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 4x, где x – некоторая константа.
По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника равна sqrt((3x)^2 + (4x)^2) = 50.
Раскроем скобки и упростим выражение: sqrt(9x^2 + 16x^2) = 50.
Соберем подобные слагаемые: sqrt(25x^2) = 50.
Упростим выражение: 5x = 50.
Разделим обе части уравнения на 5, получим: x = 10.
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 3 * 10 = 30 мм и 4 * 10 = 40 мм.
Чтобы найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, воспользуемся теоремой о подобных треугольниках.
По этой теореме, отношение длин сегментов гипотенузы, на которые она делится высотой, равно отношению длин одного катета к гипотенузе.
Отношение катета к гипотенузе есть 4/5. Пусть один из отрезков гипотенузы будет равен x.
Тогда второй отрезок гипотенузы будет равен (1-x), так как сумма этих отрезков равна гипотенузе.
Теперь составим пропорцию:
4/5 = x/1-x.
Умножим обе части пропорции на (1-x) для избавления от знаменателя:
4(1-x) = 5x.
Раскроем скобки:
4-4x = 5x.
Перенесем все слагаемые с переменной на одну сторону уравнения:
4 = 5x + 4x.
Скомбинируем слагаемые:
4 = 9x.
Разделим обе части уравнения на 9, получим:
x = 4/9.
Таким образом, один отрезок гипотенузы равен 4/9 от ее длины, а второй отрезок равен 5/9 от ее длины