Для начала продлим `TF` и `KL` до пересечения в точке `A`.
Так как `KF` – биссектриса треугольника `KLM`, то `/_KFA=/_KFM=54^@` (так как `/_KML=108^@` и `/_KLM=36^@`)
Также из условия задачи известно, что `/_TFK=90^@`.
Используя сумму углов треугольника, выразим `/_AFK` через другие углы:
`/_AFK = 180^@ – /_KFM – /_TFK = 180^@ – 54^@ – 90^@ = 36^@`
Так как угол `/_AKT` – смежный угол с углом `/_AFK`, значит `/_AKT = 36^@`
Так как треугольник `AKT` прямоугольный с углом `/_AKT = 36^@` и известным отношением сторон `TF/TA = FK/KA = 5/KA`, можно найти отношение `TA/TK` по теореме Пифагора:
`(TA/TK)^2 = (TF/TK)^2 + (AF/AK)^2 = (5/KA)^2 + 1`
`(TA/TK)^2 = (5/KA)^2 + 1 = (5/KA)^2 + (KA/KA)^2`
`(TA/TK)^2 = (5/KA)^2 + KA^2 / KA^2`
`(TA/TK)^2 = 25/KA^2 + 1/KA^2`
`(TA/TK)^2 = 26/KA^2`
Так как `TA/TK` – это угловой коэффициент прямой `TA` (так как `TK=1`), а `KA` – это противоположная сторона к углу `/_AKT`, то выражение `(TA/TK)^2 = 26/KA^2` равно `(y2-y1)/(x2-x1)^2`, где `(y2-y1)/(x2-x1)` – угловой коэффициент прямой `TA` (отношение изменения `y` к изменению `x`), а `KA` – противоположная сторона.
Поэтому `(y2-y1)/(x2-x1)^2 = 26/KA^2`
`(y2-y1)/(x2-x1) = sqrt(26)/KA`
`(y2-y1) = sqrt(26)/(x2-x1)` (так как `KA = (x2-x1)`)
`(y2-y1) = sqrt(26)*(KF/KA)` (так как `KF/KA = TF/TA = 5/(x2-x1)`)
`(y2-y1) = sqrt(26)*(KF/KA) = sqrt(26)*(5/(x2-x1))`
`(y2-y1) = sqrt(26)*(5/(x2-x1))`
`(y2-y1)*(x2-x1) = 5*sqrt(26)`
`(x2-x1)*(y2-y1) = 5*sqrt(26)`
`(TK-TA)*(TF-KA) = 5*sqrt(26)`
`(1-TA)*(5-KA) = 5*sqrt(26)`
`(5-KA)*(1-TK) = 5*sqrt(26)`
`5 – 5*TK – KA + KA*TK = 5*sqrt(26)`
`- 5*TK + KA*(1 – TK) = 5*sqrt(26) – 5`
`TK*(5 – KA) + KA*(1 – TK) = 5*sqrt(26) – 5`
`TK*(5 – KA) = 5*sqrt(26) – 5 – KA*(1 – TK)`
`TK = (5*sqrt(26) – 5 – KA*(1 – TK))/(5 – KA)`
`TK = (5*sqrt(26) – 5 – KA + KA*TK)/(5 – KA)`
Таким образом, мы получили формулу для вычисления длины `TM`, где `TM = TK * KM`, `TK` и `KM` известны.
Для дальнейшего решения нам необходимо найти длину `KA` и `KA*TK`.
Используя теорему синусов в треугольниках `TFK` и `AFK`, найдем отношение `KA/TF`:
`KA/TF = sin(/_KAF) / sin(/_KTF) = sin(36^@) / sin(90^@) = sin(36^@)`
Из теоремы Пифагора в треугольнике `KAF` найдем длину `KA`:
`KA = sqrt(TF^2 – AF^2) = sqrt(TF^2 – (FK – KA)^2) = sqrt(TF^2 – (5 – KA)^2)`
Заменим `KA` через `sqrt(26)*TF` в последнем уравнении:
`KA = sqrt(26)*5`
Теперь найдем `KA*TK`:
`KA*TK = sqrt(26)*5*TK`
Подставим все известные значения в формулу для `TM`:
`TM = TK * KM = (5*sqrt(26) – 5 – KA + KA*TK)/(5 – KA) * KM`
В окончательном ответе достаточно выразить `TM` через числовые значения и вычислить их.