Пусть сечение плоскостью конуса образует две малые окружности с радиусами r1 и r2, где r1 < r2. По условию задачи, площадь сечения равна 5π. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле S = πr^2, где S - площадь, а r - радиус. Так как плоскость перпендикулярна к высоте конуса и делит ее на отрезки в отношении 1:3, то можно сделать вывод, что отношение площадей сечений конуса равно квадрату отношения радиусов. Таким образом, r1^2 / r2^2 = 1 / 3. Из этого следует, что (r1 / r2)^2 = 1 / 3. Выразим r1 / r2: r1 / r2 = √(1 / 3) = √(3 / 9) = √3 / 3. Зная, что площадь сечения равна 5π, можем записать формулу для площади сечения: πr1^2 + πr2^2 = 5π. Так как мы выразили r1 / r2 через √3 / 3, то подставим его в формулу: π(r1^2) + π(r2^2) = 5π. Упростим уравнение, поделив обе части на π: r1^2 + r2^2 = 5. Теперь можем использовать соотношение между r1 и r2: r1 / r2 =√3 / 3. Возведем в квадрат обе части: (r1 / r2)^2 = (√3 / 3)^2. Подставляем значения: r1 / r2 = 3 / 9 = 1 / 3. Так как r1 и r2 - радиусы окружностей, то можно сказать, что площадь конуса равна π(r2^2). Выразим площадь конуса через r1: π(r2^2) = π ((r1 / (1 / 3))^2) = π(3^2 * r1^2). У нас также есть уравнение для сечения: r1^2 + r2^2 = 5. Подставляем значение r1 / r2 из соотношения и упрощаем уравнение: r1^2 + (9 * r1^2) = 5. Получаем: 10 * r1^2 = 5. Разделим обе части на 10: r1^2 = 5 / 10 = 1 / 2. Возьмем квадратный корень от обеих частей: r1 = √(1 / 2) = √2 / 2. Теперь можем найти площадь основания конуса: π(r2^2) = π((r1 / (1 / 3))^2) = π((√2 / 2) / (1 / 3))^2) = π(3 / √2)^2 = π(9 / 2). Ответ: площадь основания конуса равна 9π / 2.
