Чтобы найти объем тела вращения, необходимо использовать формулу объема вращения:
V = ∫(a,b)π(y(x))^2dx,
где V – объем, a и b – границы вращения, y(x) – функция, описывающая кривую, полученную вращением исходного тела вокруг оси.
В данной задаче вращается квадрат со стороной 8 см вокруг своей оси симметрии. Чтобы найти объем вокруг этой оси, необходимо использовать метод цилиндров. Мы будем разрезать квадрат на маленькие цилиндры толщиной dx и радиусом y(x). Затем мы будем складывать объемы этих цилиндров от одной границы вращения до другой.
Так как это квадрат, вертикальные линии находятся на равном расстоянии друг от друга вдоль оси x. Это означает, что y(x) будет постоянным значением и равно 8 см.
Таким образом, формулу для объема вращения можно записать как:
V = ∫(a,b)π(8)^2dx.
Теперь, чтобы вычислить этот интеграл, нам нужно знать границы вращения (“a” и “b”). Так как задача не указывает, насколько далеко вращается квадрат, предположим, что он вращается на 2π радиан (один полный оборот). Поэтому “a” будет равно 0, а “b” будет равно 2π.
Теперь мы можем заменить границы в нашем интеграле:
V = ∫(0,2π)π(8)^2dx.
Выполняем интегрирование:
V = π * (8^2) * ∫(0,2π)dx.
V = 64π * [x] (от 0 до 2π).
В итоге получаем:
V = 128π^2.
Таким образом, объем вокруг тела вращения составляет 128π^2 кубических сантиметров.