Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы угла A и стороны BC.
Так как MD – медиана треугольника AMB, то AM = MB, следовательно, треугольник AMB равнобедренный. Также из равенства сторон AM = MB следует, что углы AMB и BMA также равны.
Рассмотрим треугольник AMB. Пусть C – точка пересечения медианы MD и стороны AB.
Так как MD – медиана, она делит сторону AB пополам. Значит, AC = CB.
Пусть угол BAC = α и угол CBA = β.
Так как треугольник AMB равнобедренный, угол AMB = BMA = β.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как MD – медиана, она также делит сторону AC пополам. Значит, AD = CD.
Также из равенства углов AMB и BMA следует, что угол DAB = β.
Таким образом, получаем, что углы ADC и DAB равны, то есть угол CAD = углу CAB = α.
Значит, угол CAD = углу CAB.
Таким образом, по определению, CD – биссектриса треугольника ACB.