Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов.
1. Предположим, что угол ABC равен α. Тогда угол ABD будет равен α/2, так как ∠ADB = 2∠ABC.
2. Применяя теорему синусов в треугольнике ABC, получаем: AC/sin(α) = BC/sin(∠ACB) = 2R, где R – радиус описанной окружности треугольника ABC.
3. Так как ∠ABD = 90° (по построению), то треугольник ABD – прямоугольный.
4. Применяя теорему синусов в треугольнике ABD, получаем: AD/sin(α/2) = BD/sin(∠ABD) = 2R, т.к. AD – диаметр описанной окружности треугольника ABD.
5. Из уравнений, полученных на шагах 2 и 4, мы видим, что AC = AD*sin(α/2) и BC = BD*sin(∠ACB).
6. Используя теорему Пифагора, получим: CD^2 = BD^2 – BC^2 = (2R)^2 – (BD*sin(∠ACB))^2 = 4R^2 – (2R*sin(α/2)*sin(∠ACB))^2 = 4R^2 – 4R^2*sin^2(α/2)*sin^2(∠ACB) = 4R^2(1 – sin^2(α/2)*sin^2(∠ACB)) = 4R^2*cos^2(α/2)*sin^2(∠ACB) = 4R^2*sin^2(α/2)*sin^2(∠CAB)*sin^2(∠ACB) = 4R^2*sin^2(α/2)*sin(α/2)*sin(α)*sin(∠ACB) = AC*BD*sin(α/2)*sin(α)*sin(∠ACB).
7. Таким образом, мы получили, что CD^2 = AC*BD*sin(α/2)*sin(α)*sin(∠ACB).
8. Но AC*BD*sin(∠ACB) равно площади треугольника ABC, так как AC и BD – это высоты, опущенные из вершин A и B, соответственно.
9. Поэтому CD^2 = S*sin(α/2)*sin(α)*S = S^2*sin(α/2)*sin(α), где S – площадь треугольника ABC.
10. Из уравнения CD^2 = S^2*sin(α/2)*sin(α) следует, что CD = S*sin(α/2)*sqrt(sin(α)), поскольку sqrt(sin(α)) > 0, мы можем записать: CD^2 = (S*sin(α/2)*sqrt(sin(α)))^2 = (S*sin(α/2))^2 * sin(α).
11. Но S*sin(α/2) – это полупериметр треугольника ABC, который обозначим как p/2.
12. Получаем: CD^2 = (p/2)^2 * sin(α). Поскольку c = 2R*sin(α), где c – сторона треугольника ABC, мы можем записать: sin(α) = c/2R.
13. Таким образом, CD^2 = (p/2)^2 * c/2R = (p/2R)^2 * c.
14. Заметим, что p/2R – это радиус описанной окружности треугольника ABC, обозначим его как R’. Получаем: CD^2 = R’^2 * c.
15. Из уравнения CD^2 = R’^2 * c следует, что CD^2 = AC * BC.
16. Таким образом, мы доказали, что CD^2 = AC * BC.