На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
a) Из условия известно, что AP = 3PA, значит точка P делит отрезок AA’ в отношении 1:3.
Найдем координаты точки P. Пусть координаты точки A (0, 0, 0), тогда координаты точки A’ (4, 0, 0).
Так как P делит отрезок AA’ в отношении 1:3, то координаты точки P можно найти по формуле:
Px = (1/4)*4 + (3/4)*0 = 1
Py = (1/4)*0 + (3/4)*0 = 0
Pz = (1/4)*0 + (3/4)*0 = 0
Таким образом, точка P имеет координаты (1, 0, 0).
Так как точка Р принадлежит плоскости а, то направляющие векторы этой плоскости будут перпендикулярны векторам PD1 и PV.
Вектор PD1 = D1 – P = (4, 0, 3) – (1, 0, 0) = (3, 0, 3)
Вектор PV = V – P = (1, 4, 0) – (1, 0, 0) = (0, 4, 0)
Найдем векторное произведение этих векторов:
n = PD1 x PV,
n = (3, 0, 3) x (0, 4, 0) = (12, 0, -12)
Тогда уравнение плоскости а будет иметь вид:
12x – 12z + D = 0
Подставляя координаты точки P, получим:
12*1 – 12*0 + D = 0,
D = -12
Таким образом, уравнение плоскости а будет иметь вид:
12x – 12z – 12 = 0
б) Чтобы найти угол между диагональю AC1 и плоскостью а, нужно найти косинус этого угла, используя скалярное произведение векторов.
Вектор AC1 = C1 – A = (4, 4, 3) – (0, 0, 0) = (4, 4, 3)
Вектор нормали плоскости а = (12, 0, -12)
Нормализуем вектор нормали плоскости а:
n = (12, 0, -12) / √(12^2 + 0^2 + (-12)^2) = (1/√2, 0, -1/√2)
Найдем косинус угла между векторами AC1 и n:
cos α = (AC1 * n) / (|AC1| * |n|)
|AC1| = √(4^2 + 4^2 + 3^2) = √41
|n| = 1
AC1 * n = 4*1/√2 + 4*0 + 3*(-1/√2) = 4/√2 – 3/√2 = 1/√2
cos α = (1/√2) / (√41 * 1)
cos α = 1 / (√82)
Таким образом, угол α между диагональю AC1 и плоскостью а равен аrcos(1 / (√82)).
г) Расстояние от точки D до плоскости а можно найти по формуле:
d = (Ax + By + Cz + D) / √(A^2 + B^2 + C^2)
d = (0*12 + 0*0 + 3*(-12) + (-12)) / √(12^2 + 0^2 + (-12)^2) = -36 / 12 = -3
Таким образом, расстояние от точки D до плоскости а равно 3.
