На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Воспользуемся свойством векторов: если векторы $overrightarrow{v}$ и $overrightarrow{w}$ коллинеарны (параллельны), то $overrightarrow{v}=lambdaoverrightarrow{w}$ для некоторого числа $lambda$.
Пусть $overrightarrow{a} = overrightarrow{PB}$, $overrightarrow{b} = overrightarrow{PC}$ и $overrightarrow{c} = overrightarrow{PA}$. Тогда $overrightarrow{f} = overrightarrow{PM}$, $overrightarrow{g} = overrightarrow{PK}$ и $overrightarrow{h} = overrightarrow{PH}$.
По условию, $frac{overrightarrow{f}}{overrightarrow{a}} = frac{overrightarrow{g}}{overrightarrow{b}} = frac{overrightarrow{h}}{overrightarrow{c}}$. Это значит, что существуют такие числа $lambda_1$, $lambda_2$ и $lambda_3$, что $overrightarrow{f} = lambda_1overrightarrow{c}$, $overrightarrow{g} = lambda_2overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{h} = lambda_3overrightarrow{b}$.
Рассмотрим плоскость ABC. Векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ являются её направляющими векторами.
В плоскости MKH выберем какую-нибудь точку и обозначим её как Q. Векторы $overrightarrow{k} = overrightarrow{QK}$ и $overrightarrow{m} = overrightarrow{QM}$ также лежат в этой плоскости.
Выразим векторы $overrightarrow{a}$, $overrightarrow{b}$ и $overrightarrow{c}$ через $overrightarrow{f}$, $overrightarrow{g}$ и $overrightarrow{h}$.
Так как $overrightarrow{f}=lambda_1overrightarrow{c}$ и $overrightarrow{h}=lambda_3overrightarrow{b}$, то $overrightarrow{b}=frac{1}{lambda_3}overrightarrow{h}$ и $overrightarrow{c}=frac{1}{lambda_1}overrightarrow{f}$. Тогда $overrightarrow{a} = overrightarrow{b} + overrightarrow{c} = frac{1}{lambda_3}overrightarrow{h} + frac{1}{lambda_1}overrightarrow{f} = frac{1}{lambda_3}lambda_1overrightarrow{f} + frac{1}{lambda_1}lambda_3overrightarrow{f} = (frac{1}{lambda_3}lambda_1 + frac{1}{lambda_1}lambda_3)overrightarrow{f} = 2overrightarrow{f}$.
Таким образом, вектор $overrightarrow{a}$ коллинеарен вектору $overrightarrow{f}$, а значит, эти векторы параллельны. Аналогично показывается, что $overrightarrow{b}$ и $overrightarrow{c}$ параллельны векторам $overrightarrow{g}$ и $overrightarrow{h}$ соответственно.
То есть, векторы, лежащие во второй плоскости, параллельны направляющим векторам плоскости ABC. Это значит, что плоскости MKH и ABC параллельны.
Для нахождения площади треугольника MKH воспользуемся формулой “полупроизведения векторов”, зная площадь треугольника ABC:
$S_{ABC} = frac{1}{2}|overrightarrow{a} times overrightarrow{b}|$
Так как $overrightarrow{a} = 2overrightarrow{f}$ и $overrightarrow{b} = frac{1}{lambda_3}overrightarrow{h}$, получаем:
$S_{ABC} = frac{1}{2}|2overrightarrow{f} times frac{1}{lambda_3}overrightarrow{h}| = frac{1}{2}left|frac{2}{lambda_3}overrightarrow{f} times overrightarrow{h}right|$
Из свойств векторного произведения, это равно:
$S_{ABC} = frac{1}{2}left|frac{2}{lambda_3}cdot 2S_{MKH}right| = left|frac{2}{lambda_3}cdot S_{MKH}right| = 10$
Отсюда получаем, что $S_{MKH} = frac{lambda_3}{4}cdot 10 = frac{lambda_3}{4} cdot S_{ABC} = frac{lambda_3}{4} cdot 10 см^2$.
Таким образом, площадь треугольника MKH равна $frac{lambda_3}{4}$ площади треугольника ABC.
