Докажем, что стороны AB и LK параллельны и равны по длине, и что стороны AL и BK параллельны и равны по длине.
1. По условию имеем, что 2CF = FA и 2CE = EB. Сделаем следующее наблюдение:
2CF = FA –> CF = FA/2
2CE = EB –> CE = EB/2
Суммируем эти равенства и получим: CF + CE = FA/2 + EB/2 = (FA + EB)/2
Заметим, что FA + EB = AB, поскольку пары точек F и E соответственно на сторонах AC и BC образуют отрезки AF и EB, которые вместе составляют сторону AB.
Следовательно, CF + CE = AB/2.
Так как AB параллельна и равна по длине стороне KL, то, согласно теореме Фалеса, CF + CE также равно KL/2.
2. По условию имеем, что 2KE = EA и 2LF = FB. Сделаем аналогичное наблюдение:
2KE = EA –> KE = EA/2
2LF = FB –> LF = FB/2
Суммируем эти равенства и получим: KE + LF = EA/2 + FB/2 = (EA + FB)/2
Заметим, что EA + FB = AB, поскольку пары точек K и L соответственно на лучах AE и BF образуют отрезки KE и LF, которые вместе составляют сторону AB.
Следовательно, KE + LF = AB/2.
Так как AB параллельна и равна по длине стороне LK, то KE + LF также равно KL/2.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что CF + CE = KE + LF = KL/2.
Это означает, что CL = KL – CF = KE + LF – CF = KE + LF – FA/2 = EA/2 + FB/2 – FA/2 = (EA – FA + FB)/2.
Заметим, что EA – FA + FB = AB – FA + FB = AB + (-FA + FB) = AB, поскольку треугольник AFB является отражением треугольника ABC относительно биссектрисы угла BAC.
Таким образом, CL = AB/2.
4. Из пункта 3 следует, что CL = AB/2. Но также по условию имели, что CE = EB/2, поэтому CE = FA/2 = AB/2, так как FA = EB.
Следовательно, CL = CE и AB параллельна CL.
5. Аналогичным образом можно показать, что BL = AB/2 и AL = KL/2.
Поэтому BL = AB/2 и AB параллельна BL.
Таким образом, у нас есть две пары параллельных сторон AB и LK, а также AL и BK.
По определению параллелограмма, четырехугольник ABKL является параллелограммом.