Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, а их соответствующие отрезки как $x$, $y$ и $z$. Также обозначим площадь треугольника $KLM$ как $S$.
Из условия известно, что $frac{x}{a} = frac{y}{b} = frac{z}{c} = frac{3}{5}$. Поэтому мы можем найти отношения $x:y$, $y:z$ и $z:x$:
$$frac{x}{a} = frac{3}{5} Rightarrow x = frac{3a}{5}$$
$$frac{y}{b} = frac{3}{5} Rightarrow y = frac{3b}{5}$$
$$frac{z}{c} = frac{3}{5} Rightarrow z = frac{3c}{5}$$
Теперь мы можем найти площадь треугольника $PQR$. Из условия известно, что эта площадь равна $8$, поэтому мы можем записать следующее уравнение:
$$frac{1}{2} cdot x cdot frac{3b}{5} = 8$$
Подставим значение $x$:
$$frac{1}{2} cdot frac{3a}{5} cdot frac{3b}{5} = 8$$
Упростим выражение:
$$frac{9ab}{50} = 8$$
Разрешим уравнение относительно $ab$:
$$ab = frac{8 cdot 50}{9} = frac{400}{9}$$
Теперь мы можем найти площадь треугольника $KLM$. Известно, что площадь треугольника можно найти по формуле:
$$S = sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p$ – полупериметр треугольника. Так как отношения $x:y:z$ равны $3:5$, полупериметр треугольника можно записать как:
$$p = frac{1}{2}(3a + 5b + 5c)$$
Воспользуемся этим значением полупериметра $p$ и найденными отношениями $x:y:z$ для вычисления площади $S$:
$$S = sqrt{left(frac{3a + 5b + 5c}{2} – aright)left(frac{3a + 5b + 5c}{2} – bright)left(frac{3a + 5b + 5c}{2} – cright)}$$
Упростим выражение:
$$S = sqrt{frac{1}{8}(3a + 5b + 5c)(5b + 5c – a)(3a – 5b + 5c)}$$
Теперь мы можем найти площадь треугольника $KLM$, подставив значение $ab$:
$$S = sqrt{frac{1}{8}(3a + 5b + 5c)(5b + 5c – a)(3a – 5b + 5c)} = sqrt{frac{400}{9} cdot frac{1}{8}} = sqrt{frac{50}{9}} = frac{5}{3}$$
Таким образом, площадь треугольника $KLM$ равна $frac{5}{3}$.