Для доказательства того, что получившаяся фигура является параллелограммом, достаточно показать, что ее противоположные стороны параллельны и равны.
Пусть ABCD – исходный параллелограмм, P и Q – середины его сторон AB и CD соответственно, а M и N – середины сторон BC и AD соответственно.
Для начала заметим, что отрезки PM и NQ соединяют середины противоположных сторон параллелограмма.
1) Докажем, что отрезки PM и NQ параллельны.
Рассмотрим треугольники PMB и DNC. Поскольку M и N – середины сторон, то отрезки MB и ND равны и параллельны. Кроме того, отрезки PM и DN соединяют середины сторон, следовательно, они равны.
Значит, треугольники PMB и DNC являются равнобедренными. Это означает, что углы MBC и NDC равны, а значит, отрезки PM и NQ параллельны.
2) Докажем, что отрезки PM и NQ равны.
Поскольку M и N – середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD, то отрезки BM и ND равны и параллельны. Также, по той же причине, отрезки PM и DN равны и параллельны. Значит, треугольники PMB и DNC являются равнобедренными и равными. Это означает, что отрезки PM и NQ равны.
Таким образом, мы доказали, что получившаяся фигура с вершинами P, M, N и Q является параллелограммом.