Пусть одно основание равнобедренной трапеции равно х, так как второе основание в 3 раза больше, то оно равно 3х.
Для нахождения длины х, обратимся к теореме Пифагора, примененной к треугольнику, образованному основанием, апофемой (радиусом окружности, вписанной в трапецию) и половиной боковой стороной трапеции. Обозначим радиус окружности через r.
По свойству равнобедренной трапеции разность оснований равна длине боковой стороны, то есть:
3х – х = 36,
2х = 36,
х = 18.
Теперь, применяя теорему Пифагора, получаем:
r^2 = х^2 + (36/2)^2,
r^2 = 18^2 + 18^2,
r^2 = 648,
r = √648,
r = 18√4.
Так как радиус окружности равен половине разницы оснований трапеции, то:
2r = 3х – х,
2(18√4) = 3х – х,
36√4 = 2х,
9√4 = х,
9 * 2 = х,
18 = х.
Таким образом, длина меньшего основания равна 18, а длина большего основания равна 3 * 18 = 54.