Найди косинус наибольшего угла треугольника с вершинами A(1; 0; 2), B(2; 1; 0) и C(1; 2; 0).

Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|),

где AB и AC – векторы, проведенные от одной вершины треугольника к двум другим вершинам, и |AB| и |AC| – их длины.

1. Найдем векторы AB и AC. Для этого вычтем координаты вершины A из координат вершин B и C соответственно:
AB = B – A = (2 – 1; 1 – 0; 0 – 2) = (1; 1; -2),
AC = C – A = (1 – 1; 2 – 0; 0 – 2) = (0; 2; -2).

2. Вычислим длины векторов AB и AC:
|AB| = √(1^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(1 + 1 + 4) = √6,
|AC| = √(0^2 + 2^2 + (-2)^2) = √(0 + 4 + 4) = √8 = 2√2.

3. Найдем скалярное произведение AB и AC:
AB * AC = 1*0 + 1*2 + (-2)*(-2) = 0 + 2 + 4 = 6.

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса:
cos(θ) = 6 / (√6 * 2√2) = 6 / (2√6) = 3 / √6.

5. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на √6:
cos(θ) = (3 / √6) * (√6 / √6) = 3√6 / 6.

Ответ: косинус наибольшего угла треугольника ABC равен 3√6 / 6.