Для решения задачи, мы можем использовать формулу объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где V – объем пирамиды, S – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.
Для начала, найдем площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, основание является равносторонним треугольником. Формула для площади равностороннего треугольника:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a – длина стороны треугольника.
В нашем случае длина стороны треугольника равна 3, поэтому:
S = (3^2 * √3) / 4 = (9 * √3) / 4.
Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого мы можем использовать формулу:
h = a * √(1 – cos^2θ),
где a – длина бокового ребра пирамиды, θ – угол между боковым ребром и плоскостью основания.
В нашем случае длина бокового ребра пирамиды равна 3, а угол θ равен 30°. Подставим значения в формулу:
h = 3 * √(1 – cos^2(30°)) = 3 * √(1 – cos^2(π/6)) = 3 * √(1 – (sqrt(3)/2)^2) = 3 * √(1 – 3/4) = 3 * √(1/4) = 3 * √(1/4) = (3/2) * √1 = 3/2.
Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы рассчитать объем пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * (9 * √3) / 4 * 3/2 = 27 * √3 / 24 = √3 / 8.
Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен √3 / 8.