Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, сначала найдем векторы, параллельные им.
Уравнение прямой задано в параметрической форме:
x = -1
y = 4 – 2λ
z = 3 – 2λ
Чтобы найти направляющий вектор прямой, возьмем разность координат точек на этой прямой:
r1 = (-1, 4, 3)
r2 = (-1, 4 – 2λ, 3 – 2λ)
r1 – r2 = (0, 2λ, 2λ)
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет вид (0, 2λ, 2λ) и его длина равна √(0^2 + (2λ)^2 + (2λ)^2) = √(4λ^2 + 4λ^2) = √(8λ^2) = 2λ√2.
Уравнение плоскости дано в общем виде:
x + 2y + z – 1 = 0
Преобразуем его к нормальному виду, так чтобы коэффициент перед основным неизвестным был равен 1:
x/1 + 2y/1 + z/1 – 1/1 = 0
Таким образом, нормальный вектор плоскости — это (1, 2, 1).
Теперь мы можем найти угол между векторами, используя формулу скалярного произведения:
cos α = (вектор1 * вектор2) / (|вектор1| * |вектор2|)
где вектор1 — направляющий вектор прямой, а вектор2 — нормальный вектор плоскости.
вектор1 * вектор2 = (0, 2λ, 2λ) * (1, 2, 1) = 0 * 1 + 2λ * 2 + 2λ * 1 = 4λ + 2λ = 6λ
|вектор1| * |вектор2| = (2λ√2) * √(1^2 + 2^2 + 1^2) = 2λ√2 * √(6) = 2λ√12 = 4λ√3
cos α = (6λ) / (4λ√3) = 3√3 / 2
Угол α между прямой и плоскостью можно найти, взяв арккосинус cos α:
α = arccos(3√3 / 2)
Таким образом, угол между прямой и плоскостью равен arccos(3√3 / 2).