Известно, что вписанная окружность трапеции касается всех ее сторон.
Пусть х – это расстояние от основания (меньшей стороны) трапеции до точки касания окружности с основанием. Также пусть у – это расстояние от вершины трапеции до точки касания окружности с боковой стороной.
Пусть а и b – это длины оснований трапеции.
Тогда можем составить систему уравнений по теореме Пифагора:
(a – 2x)^2 + y^2 = (2r)^2,
x^2 + y^2 = r^2,
где r – радиус окружности, a и b – основания трапеции.
Решим эту систему методом подстановки. Подставим второе уравнение в первое:
(a – 2(sqrt(r^2 – x^2)))^2 + x^2 = (2r)^2.
Раскроем скобки и упростим уравнение:
a^2 + 4x^2 – 4ax(sqrt(r^2 – x^2)) + 4(r^2 – x^2) = 4r^2.
Далее разложим квадратный корень и соберем все слагаемые с переменной x в левую часть:
4x^2 – 4ax(sqrt(r^2 – x^2)) + 4(r^2 – x^2) – 4r^2 + a^2 = 0.
Тогда:
x^2 – ax(sqrt(r^2 – x^2)) + (r^2 – x^2) – r^2 + a^2/4 = 0.
Введем обозначение: k = sqrt(r^2 – x^2).
Тогда:
x^2 – axk + (r^2 – x^2) – r^2 + a^2/4 = 0,
a^2/4 – r^2 – (axk) + k^2 = 0,
(a^2 – 4r^2)/4 = (ax – k)^2.
Исходя из последнего уравнения, видно, что квадрат (ax – k)^2 неотрицателен для любого значения х, поэтому и его производная также неотрицательна:
(2a)(x – (r^2 – x^2)/(ax)) >= 0.
Учитывая, что радиус окружности r должен быть больше, чем расстояние (a^2)/(4a), исходя из того, что a > 0, можем сказать, что решением системы будет х = a^2/(4a), что является также координатой вершины трапеции.
Таким образом, расстояние от вершины трапеции до точки касания окружности с боковой стороной можно найти, вычислив значение y, подставив x в любое уравнение (1) или (2). Для этого нужно знать значения a и b – длины оснований трапеции.