Найти длину медианы АМ в треугольнике с вершинами А(3;-2), В(-5;-4) и С(-1;6). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. Используя координаты точек А,В,С, найти координаты вектора 2(АВ) ⃗+(АС) ⃗.

Для начала найдем координаты точки M – середины стороны AB. Это можно сделать, используя формулы средней точки:

xM = (xA + xB) / 2 = (3 – 5) / 2 = -1
yM = (yA + yB) / 2 = (-2 – 4) / 2 = -3

Таким образом, координаты точки M равны (-1, -3).

Для нахождения длины медианы AM воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками:

d(AM) = √[(xA – xM)^2 + (yA – yM)^2]
= √[(3 – (-1))^2 + (-2 – (-3))^2]
= √[16 + 1]
= √17

Таким образом, длина медианы AM равна √17.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой AB, воспользуемся следующей формулой:

y – yC = k(x – xC)

где k – коэффициент наклона прямой AB, который равен (yB – yA) / (xB – xA).

k = (-4 – (-2)) / (-5 – 3) = -2 / -8 = 1/4

Подставляем координаты точки C и значение k в формулу:

y – 6 = (1/4)(x – (-1))
y – 6 = (1/4)(x + 1)
y – 6 = (1/4)x + 1/4
y = (1/4)x + 1/4 + 6
y = (1/4)x + 25/4

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой AB, равно y = (1/4)x + 25/4.

Наконец, для нахождения координат вектора 2(AB) + (AC), умножим вектор AB на 2 и сложим его с вектором AC:

(2(AB) + AC) = (2(xB – xA), 2(yB – yA)) + (xC – xA, yC – yA)
= (2(-5 – 3), 2(-4 – (-2))) + (-1 – 3, 6 – (-2))
= (-16, -12) + (-4, 8)
= (-20, -4)

Таким образом, координаты вектора 2(AB) + (AC) равны (-20, -4).