Длина вектора a можно найти с использованием формулы длины вектора:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²),
где a₁, a₂ и a₃ – компоненты вектора a.
1. Подставим значения компонент вектора a в формулу длины вектора:
|a| = √(2² + (-1)² + 4²)
= √(4 + 1 + 16)
= √21.
Таким образом, длина вектора a равна √21.
Направляющие косинусы вектора a могут быть вычислены с использованием формул:
cos(α) = a₁ / |a|,
cos(β) = a₂ / |a|,
cos(γ) = a₃ / |a|,
где α, β и γ – углы между вектором a и каждой из осей координат (x, y и z).
2. Подставим значения компонент и длины вектора a в формулы направляющих косинусов:
cos(α) = 2 / √21,
cos(β) = -1 / √21,
cos(γ) = 4 / √21.
Таким образом, направляющие косинусы вектора a равны:
cos(α) ≈ 0.447,
cos(β) ≈ -0.224,
cos(γ) ≈ 0.894.