Для решения данной задачи воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости.
Шаги решения:
1. Найдем вектор нормали к плоскости. Для этого возьмем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем векторы AB и AC:
AB = B – A = (4 – 1; 1 – 3; 2 – 0) = (3; -2; 2)
AC = C – A = (3 – 1; 0 – 3; 1 – 0) = (2; -3; 1)
Найдем их векторное произведение:
n = AB x AC = ((-2 * 1) – (-3 * 2); (2 * 1) – (1 * 2); (3 * 2) – (2 * (-3))) = (-8; 0; 12)
2. Нормируем вектор нормали, разделив его на длину:
|n| = sqrt((-8)^2 + 0^2 + 12^2) = sqrt(64 + 144) = sqrt(208) ≈ 14.4
n̂ = n / |n| = (-8/14.4; 0; 12/14.4) ≈ (-0.55; 0; 0.83)
3. Найдем вектор, идущий от точки E до точки на плоскости. Вычитаем координаты точки E из координат точки на плоскости A:
DE = E – A = (4 – 1; 3 – 3; 0 – 0) = (3; 0; 0)
4. Найдем проекцию вектора DE на вектор нормали к плоскости:
d = DE · n̂ = (3 * (-0.55)) + (0 * 0) + (0 * 0.83) = -1.65
5. Найдем расстояние от точки E до плоскости:
Расстояние = |d| = |-1.65| = 1.65
Ответ: Расстояние от точки E(4; 3; 0) до плоскости, проходящей через точки A(1; 3; 0), B(4; 1; 2) , C(3; 0; 1), равно 1.65 единицы длины.