Задача нахождения расстояния от точки до плоскости может быть решена с использованием формулы для расстояния от точки до плоскости.
Шаги решения задачи:
1. Запишем уравнение плоскости в общем виде: 2x + у + 3z – 7 = 0.
2. Выразим уравнение плоскости в параметрическом виде, чтобы определить координаты точек на плоскости. Пусть x = t, тогда уравнение плоскости примет вид: t, -2t + 7, -3t + 7.
3. Найдем вектор нормали к плоскости. У нормального вектора координаты x, y, z будут коэффициентами перед переменными x, у и z. В данном случае нормальный вектор имеет координаты (2, 1, 3).
4. Найдем вектор направления от точки М до произвольной точки на плоскости. Для этого вычтем координаты точки М из параметрического уравнения плоскости: t – 2, -2t + 7, -3t + 10.
5. Найдем проекцию вектора направления на нормальный вектор плоскости. Для этого умножим координаты вектора направления на соответствующие координаты нормального вектора и сложим произведения: (2(t – 2)) + (1(-2t + 7)) + (3(-3t + 10)).
6. Найдем длину нормального вектора плоскости. Для этого вычислим корень суммы квадратов коэффициентов: √(2^2 + 1^2 + 3^2) = √14.
7. Разделим проекцию вектора направления на длину нормального вектора, чтобы найти расстояние от точки М до плоскости: (2(t – 2) + 1(-2t + 7) + 3(-3t + 10)) / √14.
8. Упростим полученное выражение и подставим t = 0 для нахождения конкретного значения расстояния.
Таким образом, расстояние от точки М (2;0;-3) до плоскости 2x + у + 3z – 7 = 0 равно:
(2(0 – 2) + 1(-2(0) + 7) + 3(-3(0) + 10)) / √14 = -1 / √14 ≈ -0.267.