Пусть сторона основания треугольной призмы равна a, а высота равна h.
Площадь полной поверхности призмы состоит из площади основания и двух равных боковых поверхностей. Поэтому площадь полной поверхности S равна:
S = площадь основания + 2 * площадь боковой поверхности.
Дано, что площадь полной поверхности равна 48 корней из 3 см квадратных:
48√3 = a^2 + 2 * площадь боковой поверхности.
Также дано, что площадь боковой поверхности равна 30 корней из 3 см квадратных:
30√3 = площадь боковой поверхности.
Заменим площадь боковой поверхности в уравнении для площади полной поверхности:
48√3 = a^2 + 2 * 30√3.
Упростим выражение:
48√3 = a^2 + 60√3.
Вычтем 60√3 с обеих сторон:
48√3 – 60√3 = a^2.
-12√3 = a^2.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
-12^2 * 3 = a^4.
144 * 3 = a^4.
432 = a^4.
Извлекаем корень четвертой степени из обеих частей:
√(432) = a^1.
a = √(36 * 12) = √36 * √12 = 6√3 * √3 = 6 * 3 = 18.
Таким образом, сторона основания треугольной призмы равна 18 см.
Вычислим теперь высоту призмы h:
30√3 = площадь боковой поверхности.
30√3 = (1/2) * a * h.
Подставим значение a = 18 в уравнение:
30√3 = (1/2) * 18 * h.
Упростим:
30√3 = 9h.
Разделим обе части уравнения на 9:
(30√3) / 9 = h.
10√3 / 3 = h.
Таким образом, высота призмы равна 10√3 / 3 см.
Итак, сторона основания треугольной призмы равна 18 см, а высота равна 10√3 / 3 см.