Уравнение плоскости, касающейся сферы, может быть найдено, используя нормальный вектор плоскости и координаты точки касания.
Шаги решения:
1. Проверьте, пересекаются ли сфера и плоскость. Выполнив подстановку координат в уравнение плоскости, убедитесь, что сфера и плоскость касаются, то есть имеется решение.
2. Поскольку плоскость параллельна плоскости 6x + Зу + 2z = 0, ее нормальный вектор также будет параллелен (6, 3, 2). Поэтому нормальный вектор плоскости будет (6, 3, 2).
3. Найдите точку касания. Выберите координаты точки на сфере, подставьте их в уравнение сферы и решите для недостающей переменной. Например, если взять y = -1, мы имеем x^2 + 1^2 + (z + 2)^2 = 9, что соответствует уравнению x^2 + (z + 2)^2 = 8. Подставляем x=0, получаем z = ±√6 – 2.
Таким образом, точками касания являются (0, -1, √6 – 2) и (0, -1, -√6 – 2).
4. Подставьте найденный нормальный вектор и координаты точки касания в уравнение плоскости в форме Ax + By + Cz + D = 0 и решите уравнение относительно D. Например, используя точку (0, -1, √6 – 2), имеем 6 * 0 + 3 * (-1) + 2 * (√6 – 2) + D = 0, откуда D = 2 – 3√6.
5. Полученное уравнение плоскости будет иметь вид 6x + 3y + 2z + (2 – 3√6) = 0.
Таким образом, уравнение плоскости, касающейся сферы и параллельной плоскости 6x + Зу + 2z = 0, будет 6x + 3y + 2z + (2 – 3√6) = 0.