Для решения данной задачи мы будем использовать координатное представление вектора a в базисе {e1, e2}.
Итак, нам дано, что вектор a имеет координаты (45, −1) в стандартном базисе.
Шаг 1: Найдем координаты вектора a в базисе {e1, e2}.
Для этого мы должны записать вектор a в виде линейной комбинации базисных векторов: a = x1*e1 + x2*e2.
Вставляя данное выражение для вектора a и подставляя базисные векторы, получаем: (45,−1) = x1*(21,−8) + x2*(−1,−5).
Раскрывая скобки, получим два уравнения:
45 = 21*x1 – x2,
−1 = -8*x1 – 5*x2.
Шаг 2: Решим эту систему уравнений, чтобы найти значения x1 и x2.
Мы можем решить эту систему уравнений с использованием метода подстановки или метода исключения. В данном случае, воспользуемся методом исключения.
Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на -21:
225 = 105*x1 – 5*x2,
21 = 8*x1 + 25*x2.
Мы можем сложить эти два уравнения:
225 + 21 = 105*x1 + 8*x1 + (25-5)*x2.
Получаем:
246 = 113*x1 + 20*x2.
Шаг 3: Решим получившееся уравнение относительно x1.
Для этого выразим x1 через x2:
x1 = (246 – 20*x2) / 113.
Шаг 4: Подставим найденное значение x1 обратно в первое уравнение.
45 = 21 * ((246 – 20*x2) / 113) – x2.
Производим расчеты:
45 = (21*246 – 420*x2) / 113 – x2.
Приводим уравнение к общему знаменателю:
45*113 = 21*246 – 420*x2 – 113*x2.
Упрощаем:
5085 = 5166 – 533*x2.
Шаг 5: Решим полученное уравнение относительно x2.
Для этого выразим x2 через уравнение:
x2 = (5166 – 5085) / 533.
Выполняем расчеты:
x2 = 81 / 533.
Таким образом, получаем, что x2 = 81 / 533.
Шаг 6: Найдем x1, подставляя полученное значение x2 в выражение для x1:
x1 = (246 – 20*(81/533)) / 113.
Выполняем расчеты:
x1 = (246 – 1620/533) / 113.
x1 = (246 – 3.04) / 113.
x1 = 2.18.
Таким образом, получаем, что x1 ≈ 2.18 и x2 ≈ 0.152.
Ответ: координаты вектора a в базисе {e1, e2} равны (2.18, 0.152).