Для нахождения матрицы перехода от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3 мы должны составить матрицу, в которой столбцы будут содержать координаты базисных векторов f1, f2, f3 в базисе e1, e2, e3.
Перейдем к нахождению координат базисных векторов f1, f2, f3 в базисе e1, e2, e3.
Рассмотрим вектор f1. Он задается следующим образом:
f1 = e1 – e2
Для нахождения его координат в базисе e1, e2, e3 нам нужно выразить факторизацию вектора f1 в этих базисных векторах.
f1 = 1 * e1 + (-1) * e2 + 0 * e3
Итак, координаты вектора f1 в базисе e1, e2, e3 равны {1, -1, 0}.
Аналогично, находим координаты векторов f2, f3:
f2 = e1 + e2 => координаты f2 в базисе e1, e2, e3: {1, 1, 0}
f3 = e1 + e2 – e3 => координаты f3 в базисе e1, e2, e3: {1, 1, -1}
Теперь, чтобы получить матрицу перехода P от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3, мы записываем координаты базисных векторов f1, f2, f3 в базисе e1, e2, e3 как столбцы матрицы P:
P = [[1, 1, 1],
[-1, 1, 1],
[0, 0, -1]]
Теперь, чтобы найти матрицу оператора A в базисе f1, f2, f3, мы используем следующую формулу:
A_f = P^-1 * A * P
где A_f – матрица оператора A в базисе f1, f2, f3.
Теперь подставим данные матрицы P и вектор x = {0, -2, 3} в формулу для нахождения образа Ax в базисе f1, f2, f3:
[Ax]_f = P^-1 * A * P * x
Выполним умножение и получим образ вектора x в базисе f1, f2, f3: [2, 7, -3].
Затем найдем обратную матрицу P^-1 и умножим ее на матрицу оператора A и на матрицу P:
[A]_f = P^-1 * A * P
Применяем формулу для обращения матрицы и выполняем умножение:
A_f = [[3/2, -1/2, -1/2],
[9/2, 1/2, -1/2],
[-2, -2, 1]]
Таким образом, искомая матрица оператора A в базисе f1, f2, f3 равна [[3/2, -1/2, -1/2], [9/2, 1/2, -1/2], [-2, -2, 1]]. Образ вектора x = {0, -2, 3} в базисе f1, f2, f3 равен [2, 7, -3].