Дано линейное преобразование А с матрицей А в базисе {e1, e2, e3}. Нужно найти матрицу А в базисе {f1, f2, f3}, где f1=3e2+e3, f2=-e1-e2+2e3, f3=e1+3e2.
Шаги решения:
1. Найдем координаты векторов f1, f2, f3 в старом базисе {e1, e2, e3}.
f1 = 3e2 + e3 = 0e1 + 3e2 + 1e3 = [0, 3, 1] в координатах {e1, e2, e3}.
f2 = -e1 – e2 + 2e3 = -1e1 – 1e2 + 2e3 = [-1, -1, 2] в координатах {e1, e2, e3}.
f3 = e1 + 3e2 = 1e1 + 3e2 + 0e3 = [1, 3, 0] в координатах {e1, e2, e3}.
2. Используя найденные координаты векторов f1, f2, f3 в базисе {e1, e2, e3}, составим матрицу перехода P от базиса {e1, e2, e3} к базису {f1, f2, f3}.
Матрица P будет составлена из столбцов, в которых записаны координаты векторов f1, f2, f3 в базисе {e1, e2, e3}.
P = [0, -1, 1; 3, -1, 3; 1, 2, 0].
3. Найдем обратную матрицу P⁻¹, которая будет матрицей перехода от базиса {f1, f2, f3} к базису {e1, e2, e3}.
4. Найдем матрицу оператора A’ в новом базисе {f1, f2, f3} используя формулу A’ = P⁻¹AP, где A – матрица оператора в старом базисе.
A’ = P⁻¹AP
-1 1 0 3 -1 -2 0.33 1.00 -0.67
-3 1 3 * 0 2 0 = -3.00 1.00 -0.00
1 -3 2 -1 1 1 1.00 -0.00 1.33
Матрица оператора А’ в базисе {f1, f2, f3} будет равна
0.33 1.00 -0.67
-3.00 1.00 -0.00
1.00 -0.00 1.33
Ответ: Матрица оператора А в базисе {f1, f2, f3} оказывается равной
0.33 1.00 -0.67
-3.00 1.00 -0.00
1.00 -0.00 1.33