Для нахождения матрицы оператора A в базисе f1, f2, f3 нужно сначала выразить базисные векторы f1, f2, f3 через e1, e2, e3. Это можно сделать, решив систему линейных уравнений:
f1 = e1 − e2
f2 = e1 + e2
f3 = e1 + e2 − e3
Будем обозначать матрицу перехода от базиса e1, e2, e3 к базису f1, f2, f3 как P.
Тогда P = [[1, -1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, -1]].
Теперь найдем матрицу оператора A в базисе e1, e2, e3. Для этого мы умножим матрицу перехода P на матрицу оператора A в базисе f1, f2, f3, и на результате умножения умножим матрицу перехода P^(-1).
Матрица A в базисе e1, e2, e3 будет равна:
A_e = P * A_f * P^(-1),
где A_f – матрица оператора A в базисе f1, f2, f3.
Вектор x в базисе f1, f2, f3 будет равен:
x_f = P * x_e,
где x_e – вектор x в базисе e1, e2, e3.
Теперь нам осталось только подставить известные значения и произвести необходимые вычисления:
P = [[1, -1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, -1]]
A_f = [[-1, -3, 0], [0, -1, 0], [2, 0, 1]]
x_e = [0, -2, 3]
Вычисляем x_f:
x_f = P * x_e = [[1, -1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, -1]] * [0, -2, 3] = [2, 7, -3].
Вычисляем A_e:
A_e = P * A_f * P^(-1) = [[1, -1, 0], [1, 1, 0], [1, 1, -1]] * [[-1, -3, 0], [0, -1, 0], [2, 0, 1]] * [[-1/2, 1/2, 1/2], [-1/2, 1/2, -1/2], [1/2, 1/2, -1/2]] = [[3/2, -1/2, -1/2], [9/2, 1/2, -1/1], [-2, -2, 1]].
Таким образом, матрица оператора A в базисе e1, e2, e3 равна [[3/2, -1/2, -1/2], [9/2, 1/2, -1/1], [-2, -2, 1]], а образ вектора x в базисе f1, f2, f3 равен [2, 7, -3].