Для нахождения матрицы линейного оператора в новом базисе 1/ и 2/ нужно выполнить следующие шаги:
1. Найдем матрицу перехода от старого базиса к новому. Для этого составим матрицу, столбцы которой будут координатами новых базисных векторов в старом базисе. Запишем координаты векторов 1/ и 2/ в виде столбцов:
= [(1, 2), (2, 3)]
2. Найдем обратную матрицу ^(-1) к матрице . Для этого воспользуемся формулой:
^(-1) = (1/( − )) * [( , − ), (− , )]
Здесь = 1, = 2, = 2, = 3. Подставив значения, получим:
^(-1) = (1/(1 * 3 − 2 * 2)) * [(3, −2), (−2, 1)]
= (1/−1) * [(3, −2), (−2, 1)]
= [−3, 2, 2, −1]
3. Найдем матрицу линейного оператора в новом базисе путем умножения матрицы перехода ^(-1) на матрицу и последующего умножения результата на матрицу :
= ^(-1) * *
Подставим значения:
= [−3, 2, 2, −1] * [6, −2, 2, −1] * [(1, 2), (2, 3)]
= [−3, 2, 2, −1] * [(6 * 1 − 2 * 2, 6 * 2 − 2 * 3), (2 * 1 − 1 * 2, 2 * 2 − 1 * 3)]
= [−3, 2, 2, −1] * [(2, 12), (0, 1)]
= [−3 * 2 + 2 * 0, −3 * 12 + 2 * 1, 2 * 2 + −1 * 0, 2 * 12 + −1 * 1]
= (−6, −36, 4, 23)
Таким образом, искомая матрица в базисе 1/ и 2/ равна:
= (−6, −36, 4, 23)
Ответ: = (−100, −181, 58, 105)