Для решения этой задачи, нам нужно найти такую траекторию (M(x; y)), которая всегда находится вдвое ближе к точке A(0; -1), чем к точке B(0; 4).
Шаги решения:
1. Найдем расстояние от произвольной точки M(x; y) до точек A и B. Обозначим эти расстояния как dA и dB соответственно.
Для точки A(0; -1): dA(x, y) = sqrt((x – 0)^2 + (y – (-1))^2) = sqrt(x^2 + (y + 1)^2).
Для точки B(0; 4): dB(x, y) = sqrt((x – 0)^2 + (y – 4)^2) = sqrt(x^2 + (y – 4)^2).
2. Задача формулируется так: dA(x, y) = 0.5 * dB(x, y).
Подставим значения формул расстояний в это условие и решим уравнение.
sqrt(x^2 + (y + 1)^2) = 0.5 * sqrt(x^2 + (y – 4)^2).
3. Возведем обе части уравнения в квадрат.
x^2 + (y + 1)^2 = 0.25 * (x^2 + (y – 4)^2).
4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0.25 * (x^2 + y^2 – 8y + 16).
5. Распределение: x^2 + y^2 + 2y + 1 = 0.25x^2 + 0.25y^2 – 2y + 4.
6. Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть уравнения.
0.75x^2 + 0.75y^2 + 4y – 3 = 0.
7. Перенесем 3 на другую сторону.
0.75x^2 + 0.75y^2 + 4y = 3.
8. Заменим коэффициенты уравнения на a, b и c.
Уравнение примет вид: 0.75x^2 + 0.75y^2 + 4y = 3.
9. Траектория будет задаваться уравнением (0.75x^2 + 0.75y^2 + 4y = 3).
Таким образом, траектория M(x; y), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке A(0; -1), чем к точке B(0; 4), задается уравнением 0.75x^2 + 0.75y^2 + 4y = 3.