Для начала найдём середину отрезка AB, которая будет являться точкой на искомой прямой. Для этого воспользуемся формулой нахождения середины отрезка по координатам.
Середина координат (x_m, y_m) равна:
x_m = (x_a + x_b) / 2
y_m = (y_a + y_b) / 2
Подставляя значения координат точек A и B, получим:
x_m = (4 + 7) / 2 = 11/2
y_m = (1 + 9) / 2 = 10/2 = 5
Теперь у нас есть точка на прямой, которую мы и будем искать.
Далее воспользуемся формулой нахождения расстояния между точкой (x, y) и прямой ax + by + c = 0:
d = |ax + by + c| / √(a^2 + b^2)
Для нашей точки (x_m, y_m) и уравнения прямой ax + by + c = 0, расстояние d будет равно:
d = |a(11/2) + b(5) + c| / √(a^2 + b^2)
Так как все точки находятся на равном расстоянии от точек A и B, расстояние от точки (x_m, y_m) до A должно быть равно расстоянию от точки (x_m, y_m) до B. Обозначим это расстояние как d_A и d_B соответственно.
d_A = |a(4) + b(1) + c| / √(a^2 + b^2)
d_B = |a(7) + b(9) + c| / √(a^2 + b^2)
Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:
|a(11/2) + b(5) + c| / √(a^2 + b^2) = |a(4) + b(1) + c| / √(a^2 + b^2) = |a(7) + b(9) + c| / √(a^2 + b^2)
Так как знаменатель одинаков, можно избавиться от знака модуля:
a(11/2) + b(5) + c = a(4) + b(1) + c = a(7) + b(9) + c
11a + 2b + 2c = 4a + b + c = 7a + 9b + c
Теперь у нас есть система из трёх уравнений:
11a + 2b + 2c = 4a + b + c = 7a + 9b + c
Таким образом, получено уравнение прямой, все точки которой находятся на равном расстоянии от точек A(4;1) и B(7;9): 11a + 2b + 2c = 4a + b + c = 7a + 9b + c.
