1) Для начала найдем координаты вектора СВ и АС.
Вектор СВ определяется разностью координат точек В и С: SV = В – С = (1 – (-2); 2 – (-3); 1 – 6) = (3; 5; -5).
Вектор АС определяется разностью координат точек С и А: AC = С – А = (-2 – 3; -3 – 4; 6 – 5) = (-5; -7; 1).
Теперь умножим вектор СВ на число 4 и вычтем из полученного вектора вектор АС: а = 4СВ – АС =
= 4(3; 5; -5) – (-5; -7; 1) = (12; 20; -20) – (-5; -7; 1) = (12 + 5; 20 + 7; -20 – 1) = (17; 27; -21).
Модуль вектора а определяется по формуле: |а| = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = sqrt(17^2 + 27^2 + (-21)^2) = sqrt(289 + 729 + 441) = sqrt(1459) ≈ 38.20.
Таким образом, координаты вектора а равны (17; 27; -21), а его модуль примерно равен 38.20.
2) Найдем вектор AB, который определяется разностью координат точек B и A: AB = B – A = (1 – 3; 2 – 4; 1 – 5) = (-2; -2; -4).
Найдем вектор AD, который определяется разностью координат точек D и A: AD = D – A = (3 – 3; -6 – 4; -3 – 5) = (0; -10; -8).
Площадь треугольника ABD можно найти, используя формулу площади треугольника через векторное произведение:
S = 1/2 |AB x AD|,
где |AB x AD| – модуль векторного произведения AB и AD.
Векторное произведение AB x AD = (-2; -2; -4) x (0; -10; -8) = (-2(-8) – (-2)(-10);
-4(0) – (-2)(-8);
(-2)(-10) – (-2)(0)) = (-16 – 20; 0 – 16; 20 – 0) = (-36; -16; 20).
Модуль векторного произведения |AB x AD| = sqrt((-36)^2 + (-16)^2 + 20^2) = sqrt(1296 + 256 + 400) = sqrt(1952) ≈ 44.16.
Таким образом, площадь грани ABD примерно равна 1/2 * 44.16 = 22.08.