Пусть основание треугольника равно a, а его высота h. Поскольку окружность касается основания треугольника, то она вписана в треугольник. Из этого следует, что радиус окружности равен половине высоты треугольника, то есть r = h/2.
Поскольку окружность делит каждую из двух других сторон треугольника на три равные части, длина каждого из отрезков равна a/3.
Обозначим точки, где окружность касается сторон треугольника, как B и C. Тогда длина отрезков AB и AC равна a/3.
Соединим центр окружности O с вершиной треугольника A. Поскольку O находится на перпендикуляре к основанию треугольника, а радиус окружности делит основание треугольника пополам, то O является серединой основания. Следовательно, AO является медианой треугольника и делит высоту треугольника пополам. Таким образом, длина отрезка AO равна h/2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Так как OA = AO = h/2 и AB = a/3, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка OB:
OB^2 = OA^2 + AB^2
OB^2 = (h/2)^2 + (a/3)^2
OB^2 = h^2/4 + a^2/9
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. Так как OA = AO = h/2 и AC = a/3, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка OC:
OC^2 = OA^2 + AC^2
OC^2 = (h/2)^2 + (a/3)^2
OC^2 = h^2/4 + a^2/9
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник OBC. Так как OB = OC (так как это радиус окружности), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины отрезка BC:
BC^2 = OB^2 + OC^2
BC^2 = h^2/4 + a^2/9 + h^2/4 + a^2/9
BC^2 = h^2/2 + a^2/9
Поскольку BC является основанием треугольника, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти косинус угла треугольника, лежащего против основания:
cos A = (BC^2 – AB^2 – AC^2) / (2 * AB * AC)
cos A = ((h^2/2 + a^2/9) – (a^2/9) – (a^2/9)) / (2 * a/3 * a/3)
cos A = ((h^2/2 + a^2/9) – 2 * a^2/9) / (2 * a^2/9)
cos A = (h^2/2 + a^2/9 – 2 * a^2/9) / (2 * a^2/9)
cos A = (h^2/2 – a^2/9) / (2 * a^2/9)
cos A = 9 * (h^2/2 – a^2/9) / (2 * a^2)
Таким образом, косинус угла треугольника, лежащего против основания, равен 9 * (h^2/2 – a^2/9) / (2 * a^2).