Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b.
Из условия задачи следует, что окружность с центром на гипотенузе треугольника касается обоих катетов.
Построим прямую, соединяющую центр окружности с точкой касания на одном из катетов. Эта прямая будет проходить через середину катета и перпендикулярна катету.
Имея катет a, находим его середину и строим прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную катету a. Обозначим точку пересечения этой прямой с гипотенузой как P.
Треугольник PRP прямоугольный, так как PR – радиус окружности (от центра к точке касания), RP – радиус окружности (от центра к точке P).
Также, треугольник PRA прямоугольный, где RA – половина гипотенузы.
Таким образом, в треугольнике PRA получаем два угла прямого треугольника.
Так как треугольник PRA прямоугольный, имеем: sin A = ar/RA, sin B = br/RB. Так как угол A равен углу B, получаем, что ar = br. Таким образом, радиус окружности равен половине гипотенузы.
Ответ: радиус окружности равен половине гипотенузы, то есть r = (a^2 + b^2) / 2.