Пусть O – центр окружности, которая касается прямой AB в точке B. Тогда, так как AB является радиусом окружности, то O – середина отрезка AB.
Давайте обозначим угол AOB через α. Поскольку окружность проходит через вершину C, то угол ACB тоже равен α.
Так как угол AOB и угол ACB являются сторонами одного из треугольников, мы можем применить теорему косинусов.
В данной задаче нам дано значение cos α, поэтому можем использовать формулу:
cos α = (AC² + BC² – AB²) / (2 * AC * BC).
Так как BC = AB (так как O – середина отрезка AB), формула упрощается:
cos α = (AC² + AB² – AB²) / (2 * AC * AB).
Подставляя данные задачи, получим:
0.9397 = (AC² + 8² – 8²) / (2 * AC * 8).
0.9397 = AC² / (16 * AC).
Перенесем AC влево и умножим на 16:
0.9397 * 16 * AC = AC².
Раскроем скобки:
15.036 * AC = AC².
Теперь можно решить получившееся квадратное уравнение:
AC² – 15.036 * AC = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
AC² – 15.036 * AC + 0 = 0.
Формула дискриминанта имеет вид D = b² – 4 * a * c:
D = (-15.036)² – 4 * 1 * 0.
D = 225.72.
Так как D > 0, имеется два решения. Но поскольку данный треугольник является двусторонним, мы выберем положительное значение для AC:
AC = (15.036 + √225.72) / 2.
AC ≈ 14.016.
Таким образом, AC примерно равняется 14.016.