Окружности w1 и w2 с центрами в точках O1 и O2 (различных) соответственно касаются друг друга в точке K. Радиусы обеих окружностей равны 9. На окружности w1 выбрана точка A, а на окружности w2 выбрана точка B так, что ∠AKO2=180∘−∠BKO2=150∘ . Найдите длину AB.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов и свойствами касательных.

Шаг 1: Построим рисунок для наглядности. На рисунке изобразим окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно. Точка K будет точкой касания окружностей. Точка A будет на окружности w1, а точка B – на окружности w2. Расположим точку B так, чтобы ∠AKO2=180∘−∠BKO2=150∘.

Шаг 2: Обозначим радиус окружностей как r = 9. Также введем переменную x для длины отрезка AB, которую мы должны найти.

Шаг 3: Поскольку ∠AKO2=180∘−∠BKO2=150∘, мы можем заключить, что ∠AKB=30∘ (внешний угол треугольника AKB). Также, так как AK и BK являются радиусами окружностей w1 и w2, соответственно, и окружности w1 и w2 касаются друг друга в точке K, то AK и BK вместе образуют прямую, проходящую через точку K.

Шаг 4: Найдем длину отрезка KO2. Так как О1О2 – средняя линия trapezium AKBK_1,
То
KO2 = sqrt{r^2 + r^2} = sqrt{2r^2} = sqrt{2*9^2} = 9sqrt{2}.

Шаг 5: Теперь воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AKB для нахождения длины отрезка AB.
AK^2 + KB^2 – 2•AK•KB • cos(∠AKB) = AB^2.
Подставим известные значения: (r^2) + (r^2) – 2•r•r • cos(30∘) = x^2.
Таким образом, получаем:
18 – 18 • cos(30∘) = x^2.

Шаг 6: Вычислим значение cos(30∘):
cos(30∘) = sqrt{3}/2.

Шаг 7: Подставим в уравнение значение cos(30∘) и вычислим выражение:
18 – 18 • sqrt{3}/2 = x^2.
18(1 – sqrt{3}/2) = x^2.
x^2 = 18(2 – sqrt{3}).
x^2 = 36 – 18sqrt{3}.

Шаг 8: Найдем корень из обеих сторон уравнения для получения значения x:
x = sqrt{36 – 18sqrt{3}}.

Таким образом, длина отрезка AB равна sqrt{36 – 18sqrt{3}}.