Для решения задачи без использования ортогональных проекций нам понадобятся знания о векторах и их скалярном произведении.
Задача может быть решена следующим образом:
1. Вычисляем вектор нормали плоскости, заданной треугольником АВС. Для этого находим векторы двух сторон треугольника: AB и AC. Сначала вычисляем координаты векторов:
AB = (65-35; 10-50; 20-70) = (30; -40; -50)
AC = (0-35; 0-50; 25-70) = (-35; -50; -45)
2. Находим векторное произведение векторов AB и AC. Пользуясь определением векторного произведения, вычисляем его координаты:
n = AB × AC
= ((-40)*(-45) – (-50)*(-50); (-50)*(-35) – (-40)*(-45); (-40)*(-50) – (-35)*(-40))
= (2250; -2150; -250)
3. Нормализуем вектор нормали, разделив его на длину. Длина вектора вычисляется по формуле ‖n‖ = √(x² + y² + z²), где x, y, z – координаты вектора n:
‖n‖ = √(2250² + (-2150)² + (-250)²)
= √(5062500 + 4622500 + 62500)
= √(9717500)
≈ 3119.14
Вектор нормали единичной длины будет равен:
n’ = n / ‖n‖
≈ (2250 / 3119.14; -2150 / 3119.14; -250 / 3119.14)
≈ (0.721; -0.689; -0.081)
4. Находим проекцию вектора AD на вектор нормали плоскости. Проекция вектора AB на вектор CD вычисляется по формуле:
расстояние = |AD · n’|
где AD – вектор от точки D до точки A, n’ – единичный вектор нормали плоскости.
Проекция вектора AD на вектор нормали будет равна:
AD · n’ = (50*0.721) + (0*(-0.689)) + (50*(-0.081))
≈ 36.05
5. Определяем натуральное расстояние от точки D до плоскости путем округления полученного значения до ближайшего целого числа:
Расстояние ≈ 36
Таким образом, расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником АВС, равно 36 (единицам длины).