Для решения данной задачи, нам необходимо определить точки M(x, y), которые остаются вдвое ближе к прямой x=1 по сравнению с точкой F(4, 0).
Шаги решения:
1. Найдем расстояние между точкой M и прямой x=1. Это расстояние можно выразить как |x-1|.
2. Также найдем расстояние между точкой M и точкой F. Это расстояние можно выразить как √((x-4)^2 + y^2).
3. Запишем условие задачи: расстояние между M и x=1 должно быть вдвое меньше, чем расстояние между M и F. То есть |x-1| = √((x-4)^2 + y^2) / 2.
4. Возведем обе части уравнения в квадрат: (x-1)^2 = ((x-4)^2 + y^2) / 4.
5. Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на 4: 4(x-1)^2 = (x-4)^2 + y^2.
6. Перепишем равенство в виде квадратного трехчлена: 4x^2 – 12x + 9 = x^2 – 8x + 16 + y^2.
7. Упростим уравнение: 3x^2 – 4x + y^2 – 7 = 0.
8. Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (2/3, 0) и радиусом √(7/3).
9. Значит, точки M(x,y), которые остаются вдвое ближе к прямой x=1 по сравнению с точкой F(4,0), лежат на данной окружности.
Таким образом, решением задачи является уравнение окружности 3x^2 – 4x + y^2 – 7 = 0.